Les Espaces Lp

On retrouve pour p 1 la dénition de l espace des fonctions intégrables.

Les espaces lp. Les espaces l p pour 1 p sont des espaces de banach c est à dire complets pour la norme ainsi définie. Th eor eme 1 7 l espace c1 c. Ceci est une version pr eliminaire des notes du cours que l auteur a dispens e en trois eme ann ee de licende de math ematiques fon damentales a l universit e paul sabatier. Notion de fonction convexe a n de prouver des in egalit es int egrales dont l in egalit e de minkowski revenons sur la th eorie des fonctions convexes.

Ceci va nous permette de dénir les espaces de fonctions de puissance p ième intégrable. La omplétionc ourp la norme jj jj 1de l espace c1 0 est l ensemble des fonctions essen tiellement ornébes nulles à l in ni. Les assertions pr ec edentes sont fausses pour p comme cela est montr e dans l exercice 8 3. Elles n ont pas et e compl etement relues et corrig ees.

C est le théorème de riesz fischer qui démontre au passage que toute suite de cauchy dans l p possède une sous suite qui converge presque partout. Espaces de lebesgue lp 1 6p61 1 3 propri et es des espaces lp 1 3 1 densit e th eor eme 1 5 les fonctions en escaliers forment un sous espace vectoriel dense de lp pour p2 1 1 th eor eme 1 6 de densit e l espace c c des fonctions continues a support compact est dense dans lp pour 1 6p 1. Les espaces de lebesgue lp a. Application 8 lemme fondamental des ariations v.

A on a bien c c r r. Espaces de lebesgue bertrand r emy 4 42. 12 6 1 espaces lp 1. Les espaceslp chapter 3 les espaces lp 3 1 définition inégalités de hölder et de minkowski les résultats sont formulés pour un espace mesuré ω t µ quelconque mais nous sommes principalement intéressés par le cas où ω est une partie borélienne de rn.

Espaces lp pour 0 6 p 6 1. Les espaces lp ainsi que les espaces lp d ependent de p. Les espaces lp sont donc les omplétionsc ourp les normes jj jj p des espaces c1 0 sauf ourp l1. Les espaces de hölder lp rd de fonctions de puissance p ème intégrables avec 1 p 1et p 6 2 pourraient sembler quelque peu artificiels mais les résultats structuraux fondamentaux que nous allons démontrer dans ce court chapitre vont nous convaincre du contraire.